SISTEM BILANGAN

SISTEM  BILANGAN DESIMAL DAN SISTEM  BILANGAN BINER

Dalam kehidupan sehari-hari, kita biasanya menggunakan sistem bilangan berbasis radix 10 atau disebut sistem bilangan desimal. Sistem bilangan desimal memiliki nilai 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 dengan radix 10. Misal nilai desimal 2016, terdiri dari 2 ribuan, 0 ratusan, 1 puluhan dan 6 satuan. Sedangkan, untuk komputer dan perangkat elektronik lainnya menggunakan sistem bilangan biner atau sistem bilangan berbasis dua.  Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17. Sistem bilangan ini merupakan dasar dari semua sistem bilangan berbasis digital. Sistem bilangan biner adalah sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol yaitu 0 dan 1 dimana nilai 0 dan 1 mempresentasikan level tegangan ‘on dan off’,’high dan low’, atau ‘ hidup dan mati’. Penulisan bilangan biner biasanya diakhiri dengan simbol “2”. Contohnya 1001101₂.

            Perhitungan dalam biner mirip dengan menghitung dalam sistem bilangan lain. Dimulai dengan angka pertama, dan angka selanjutnya. Dalam sistem bilangan desimal, perhitungan menggunakan angka 0 hingga 9, sedangkan dalam biner hanya menggunakan angka 0 dan 1.

MENGKONVERSI BILANGAN DESIMAL MENJADI BILANGAN BINER

Contohnya, kita akan mengkonversikan bilangan 45 ke dalam bentuk biner, maka caranya

45 dibagi 2 = 22 sisa 1

22 dibagi 2 = 11 sisa 0

11 dibagi 2 = 5   sisa 1

5   dibagi 2 = 2   sisa 1

2   dibagi 2 = 1   sisa 0

1   dibagi 2 = 0   sisa 1

Selanjutnya, tuliskan sisa pembagian dari yang paling akhir. Maka bentuk biner dari bilangan 45 adalah 1011012.

MENGKONVERSI BILANGAN BINER MENJADI BILANGAN DESIMAL

Contohnya, kita akan mengkonversi nilai 1011012  ke dalam bentuk desimal, maka caranya

Kalikan bilangan biner dengan 2⁰ ,2¹, 2², dan seterusnya dimulai dari yang paling kanan

1011012 = 1x2⁰ + 0x2¹ + 1x2² + 1x2³ + 0x2⁴ + 1x2⁵

              = 1x1 + 0x2 + 1x4 + 1x8 + 0x16 + 1x32

              = 1 + 0 + 4 + 8 + 0 + 32

              = 45

Maka, bentuk desimal dari 1011012 adalah 45.

SISTEM BILANGAN OKTAL DAN HEKSADESIMAL

            Selain sistem bilangan biner dan desimal, dikenal pula sistem bilangan lainnya seperti sistem bilangan oktal (radix 8) dan juga heksadesimal (radix 16). Nilai oktal adalah 0,1,2,3,4,5,6, dan 7 dengan radix 8. Sedangkan sistem bilangan heksadesimal terdiri dari 16 anggota, yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,danF. Nilai A,B,C,D,E,danF masing-masing mempresentasikan nilai lebih dari 9 yaitu 10,11,12,13,14,dan 15. Penulisan bilangan oktal biasanya diakhiri dengan simbol “8” dan penulisan Heksadesimal biasanya diakhiri dengan simbol “16” atau “H”.

MENGKONVERSI BILANGAN BINER MENJADI BILANGAN OKTAL

Contohnya, kita akan mengkonversi  nilai 1011012 ke dalam bentuk oktal, maka caranya

Pertama, kelompokkan bilangan biner kedalam 3 bagian dihitung dari yang paling kanan

 = 101 101

Kemudian lakukan langkah-langkah mengubah bilangan biner ke dalam bentuk desimal pada masing-masing bagian

=                     1  0  1                                    1  0  1

(1x2² + 0x2¹ + 1x2⁰ )              (1x2² + 0x2¹ + 1x2⁰)

=                      4+1                                          4+1

=                        5                                              5

=          55

Maka nilai dari 1011012 adalah 558.

MENGKONVERSI BILANGAN OKTAL MENJADI BILANGAN DESIMAL

Contohnya, kita akan mengkonversikan nilai 3328 kedalam bentuk desimal, maka caranya

Kalikan bilangan oktal dengan 8⁰, 8¹, 8², dan seterusnya dimulai dari yang paling kanan

=          3          3          2

         3x8²      3x8¹     2x8⁰

=          192 + 24 + 2

=         218

MENGKONVERSI BILANGAN BINER MENJADI BILANGAN HEKSADESIMAL

Contohnya kita akan menkonversi nilai 111110102 ke dalam bentuk heksadesimal, maka caranya

Pertama, kelompokkan bilangan biner ke dalam 4 bagian dihiting dari yang paling kanan

= 1111    1010

Kemudian lakukan langkah-langkah mengubah bilangan biner ke dalam bentuk desimal pada masing-masing bagian

=                      1  1  1  1                                      1  0  1  0

         (1x2³ + 1x2² + 1x2¹ + 1x2⁰)       (1x2³ + 0x2² + 1x2¹ + 0x2⁰)

=                      8+4+2+1                                 8+0+2+0

=                           15                                          10

=                           F                                            A

=          FA

Maka nilai dari 111110102 adalah FAH

MENGKONVERSI BILANGAN HEKSADESIMAL MENJADI BILANGAN DESIMAL

Contohnya, kita akan mengkonversi nilai 3FH ke dalam bentuk desimal, maka caranya adalah

Pertama ubah bilangan heksadesimal yang berupa huruf ke nilai biasa

=          3          F

            3          15

Kalikan bilangan heksadesimal dengan 16⁰, 16¹, 16², dan seterusnya dimulai dari yang palig kanan.

=  3x16¹ + 15x16⁰

=        48 + 15

=             63

Maka, nilai dari 3FH adalah 63

OPERASI HITUNG DALAM SISTEM BILANGAN

A.    PENJUMLAHAN

1.      Penjumlahan Bilangan Biner

Dalam penjumlahan biner, menggunakan cara yang sama dengan penjumlahan desimal biasa yaitu dimulai dari bit yang paling kanan dengan aturan sebagai berikut:

1.      Apabila hasilnya 1, maka hasilnya 1 ditulis di bawah.

2.      Apabila hasilnya 2 maka hasilnya 0 ditulis dibawah dan bit di kirinya ditambah 1.

3.      Apabila hasilnya lebih dari dua, maka hasilnya dikurangi 2 dan hasilnya ditulis dibawah dan sisanya ditambahkan ke bit yang di kirinya.

Dengan kata lain, jika hasil penjumlahannya ganjil maka hasil yang ditulis adalah 1, dan jika hasil penjumlahannya genap maka hasil yang ditulis adalah 0 .

Penjumlahan dimulai dari bit paling kanan. 1+1 hasilnya 2, maka ditulis 0  dibawah                        dan bit di kirinya ditambah 1. Sehingga bit dikirinya menjadi 2+1, maka hasil di bit                    kedua adalah 3-2 hasilnya 1 ditulis di bawah dan bit di kirinya ditambah 1. Begitu                               seterusnya sampai ke bit terakhir.

                Contohnya kita akan menjumlahkan nilai 1010011₂ dengan 110111₂, maka hasilnya adalah  

1010011₂                  

1101112 +

                 10001010

 

2.      Penjumlahan Bilangan Oktal

Penjumlahan dalam bilanga oktal sama seperti penjumlahan bilangan desimal biasa. Penjumlahan bilangan oktal dimulai dari yang paling kanan. Namun, dalam bilangan oktal tidak mengenal angka 8 dan 9, sehingga batas tertinggi dalam bilangan oktal adalah 7.

Contohnya kita akan menjumlahkan nilai 57₈ dengan 23₈ maka hasilnya adalah:

Batas maksimal pada bilangan oktal adalah 7, sehingga deret bilangannya adalah                                  0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,dst. Jadi caranya, pertama penjumlahan pada bilangan oktal                   dimulai dari bit yang paling kanan sehingga 7+3 = 12 (7,0,1,2), kemudian tulis 2 dan                           tambah puluhannya ke bit sebelah kirinya, sehingga (5+1)+2=0 (5,6,7,0) dan puluhannya                    di tambah ke bit dikirinya. Sehingga hasil dari 578 + 238 = 1028

               

    57₈

23 8    +

                                       102₈
                                   

3.      Penjumlahan Bilangan Heksadesimal

Penjumlahan bilangan heksadesimal juga mirip dengan penjumlahan desimal biasa. Penjumlahan bilangan heksadesimal dimulai dari bit yang paling kanan.

    Contohnya kita akan menjumlahkan nilai F3H+18H, maka caranya adalah

Deret bilangan untuk heksadesimal adalah 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,10,11,12,                         13,14,15,16,17,18,19,1A,1B,1C,1D,1E,1F,20,21,22,...,2E,2F,30,dst.                   Pertama, jumlahkan dari bit yang paling kanan sehingga 3+8=11 konversikan nilai 11 ke                    dalam heksadesimal sehingga 3+8=B. Kemudian jumlahkan bit yang kedua F+1= ,                              konversikan nilai bilangan heksadesimal ke dalam nilai desimal biasa sehingga menjadi                      15+1=16, konversikan nilai desimal ke heksadesimal, menjadi 10. Maka hasilnya adalah                      10BH

 

    F3H

18H  +

                    10BH

B.     PENGURANGAN

1.      Pengurangan Bilangan Biner

Operasi pengurangan pada bilangan biner sama seperti pengurangan biasa.

                  Contohnya kita akan mengurangi 1101₂-111_2, maka caranya adalah

    1101

111  +

                        110

2.      Pengurangan Bilangan Oktal

Proses operasi pengurangan pada bilangan oktal sama dengan proses penjumlahannya. Dimana deret bilangan oktal dimulai dari 0 dan berakhir di 7.

Contohnya kita akan mengurangkan nilai 24₈ dengan 7₈, maka caranya adalah

    24₈

78  +                       158

3.      Pengurangan Bilangan Heksadesimal

Proses pengurangan pada bilangan Heksadesimal juga memiliki kemiripan dengan penjumlahannya. Proses pengurangannya juga sama dengan pengurangan bilangan desimal biasanya. Yang membedakan hanyalah nilai maksimal dari deret bilangan heksadesimal itu sendiri.

Misalnya kita akan menghitung nilai dari 401H-56H, maka caranya adalah

    401H

56H  +                       3ABH

C.    NILAI NEGATIF

Sama seperti pada bilangan desimal, pada bilangan biner juga memiliki nilai negatif. Ada dua cara untuk mengubah bilangan desimal negatif ke dalam bentuk biner negatif. Yaitu

1.      One’s Complement

a.       Mengubah desimal negatif ke bentuk biner negatif

Contohnya kita akan mengubah nilai -11 ke dalam bentuk biner, maka caranya adalah:

·         Ubah bentuk desimal 11 ke dalam biner dengan cara biasa sehingga menjadi 1011

·         Balik bilangan biner tersebut (1 menjadi 0 & 0menjadi 1) sehingga menjadi 0100

·         Tambahkan “1” di ujung paling kiri pada bilangan biner untuk menandakan nilai negatif, sehingga menjadi 10100

·         Maka bentuk biner negatif dari 11 dengan cara one’s complement adalah 10100₂

b.      Mengubah biner negatif ke dalam desimal negatif

Contohnya kita akan mengubah nilai 10100₂ ke dalam bentuk biner negatif, maka caranya adalah:

·         Abaikan angka 1 paling kiri sehingga menjadi 0100

·         Balik bilangan biner tersebut (1 menjadi 0 & 0menjadi 1) sehingga menjadi 1011

·         Ubah bilangan biner ke bentuk desimal dengan cara biasa, sehingga menjadi 11

·         Tambah tanda negatif sehingga bentuk desmal negatif dari 10100₂ adalah   -11

2.      Two’s Complement

Contohnya kita akan mengubah nilai -11 ke dalam bentuk biner negatif, maka caranya adalah

·         Ubah bentuk desimal 11 ke dalam biner dengan cara biasa sehingga menjadi 1011

·         Balik bilangan biner tersebut (1 menjadi 0 & 0menjadi 1) sehingga menjadi 0100

·         Ubah nilai biner ke dalam nilai desimal sehingga menjadi 4

·         Tambahkan nilai satu ke dalam nilai biner, sehingga menjadi 5 (dari 4+1)

·         Ubah hasilnya ke dalam biner, sehingga menjadi 0101

·         Tambahkan “1” di ujung paling kiri pada bilangan biner untuk menandakan nilai negatif, sehingga menjadi 10101

·         Maka bentuk biner negatif dari -11 dengan cara two’s complement adalah 10101₂

3.      Cara cepat Two’s Complement

Contohnya kita akan mengubah nilai -11 ke dalam bentuk biner negatif, caranya adalah

·         Ubah bentuk desimal 11 ke dalam biner dengan cara biasa sehingga menjadi 1011

·         Balik bilangan biner tersebut (1 menjadi 0 & 0menjadi 1) angka satu paling kanan dan bit di sebelahnya (Contohnya jika 1010100 maka hasil kebalikannya adalah 0101100) sehingga hasil balik dari 1011 adalah 0101

·         Tambahkan “1” di ujung paling kiri pada bilangan biner untuk menandakan nilai negatif, sehingga menjadi 10101₂

D.    BILANGAN PECAHAN

A.    Bilangan Biner

Bentuk pecahan pada bilangan biner sama seperti bentuk pecahan bilangan biasa. Bentuk pecahan pada bilangan biner dipisahkan oleh tanda titik. Contohnya 101.01₂. Cara mengubah bentuk pecahan bilangan biner ke bentuk pecahan desimal adalah

Ubah bentuk biner pada bagian kiri titik pemisah ke dalam bentuk desimal dengan cara seperti biasa. Dan pada bagian kanan titik pemisah kalikan bit dimulai dari yang paling dekat dengan titik pemisah dengan 2^-1, 2^-2, 2^-3, 2^-4, dan seterusnya. Contohnya kita akan mengubah bentuk pecahan biner 101.01₂ ke bentuk pecahan desimal, maka

                                                            101.01

Bagian kiri                       Bagian Kanan

1x2² + 0x2¹ + 1x2⁰                 0x2^-1 + 1x2^-2

   4 + 0 + 1                         0 + 1x1/2²

         5                                     ¼

         5                                   0.25

= 5 + 0,25

= 5,25

                        Jadi nilai pecahan desimal dari pecahan biner 101.01 adalah 5,25

B.     Bilangan Oktal

Sama seperti bentuk pecahan pada bilangan biner, bentuk pecahan pada bilangan oktal juga memiliki bentuk yang sama yaitu dipisahkan oleh tanda titik. Contohnya 23.4 ₈. Cara mengubah bentuk pecahan bilangan oktal  ke bentuk pecahan desimal adalah

Ubah bentuk oktal pada bagian kiri titik pemisah ke dalam bentuk desimal dengan cara seperti biasa. Dan pada bagian kanan titik pemisah kalikan bit dimulai dari yang paling dekat dengan titik pemisah dengan 8^-1, 8^-2, 8^-3, 8^-4, dan seterusnya. Contohnya kita akan mengubah bentuk pecahan oktal 23.4 ₈ ke bentuk pecahan desimal, maka

                                                23.4 ₈

                        Bagian kiri                   Bagian kanan

                        2x8¹ + 3x8⁰                        4x8^-1

                                   16+3                               4x1/8

                             19                                   4/8

                             19                                   0,5

                        = 19+0.5

                        = 19,5

Jadi nilai pecahan desimal dari pecahan biner 23.4 ₈ adalah 19,5

C.     Bilangan Heksadesimal

Sama seperti bentuk pecahan pada bilangan biner dan oktal, bentuk pecahan pada bilangan heksadesimal juga memiliki bentuk yang sama yaitu dipisahkan oleh tanda titik. Contohnya  FA.I _H. Cara mengubah bentuk pecahan bilangan Heksadesimal  ke bentuk pecahan desimal adalah

Ubah bentuk Heksadesimal pada bagian kiri titik pemisah ke dalam bentuk desimal dengan cara seperti biasa. Dan pada bagian kanan titik pemisah kalikan bit dimulai dari yang paling dekat dengan titik pemisah dengan 16^-1, 16^-2, 16^-3, 16^-4, dan seterusnya. Contohnya kita akan mengubah bentuk pecahan oktal FA.I _H  ke bentuk pecahan desimal, maka

                                                FA.1 _H

                       Bagian kiri                   Bagian kanan

                  15x16¹ + 10x16⁰                     1x16^-1

                     240 + 10                              1x1/16

                        250                                   0,0625

            =250 + 0.0625

            =250 ,0625

Jadi nilai pecahan desimal dari pecahan biner FA.1 _H adalah 250,0625

 

GERBANG LOGIKA

Sebuah gerbang logika (logic gate) merupakan dasar dari sebuah rangkaian digital. Kebanyakan gerbang logika memiliki dua buah input dan sebuah output. Tiap terminal hanya memiliki satu kondisi saja pada satu waktu, apakah itu kondisi low 0, atau high 1. Tidak ada terminal digital dengan dua kondisi pada satu waktu yang bersamaan. Pada kebanyakan gerbang logika TTL, kondisi low memiliki tegangan kurang lebih 0 volt. Sedangkan pada kondisi high, tegangannya sekitar +5 volt.
Terdapat tujuh buah gerbang logika dasar yakni: AND, OR, XOR, NOT, NAND, NOR, dan XNOR.

Gerbang Logika AND
Kondisi output gerbang AND akan bernilai high hanya jika kedua input bernilai high. Selain itu akan bernilai low.

Gerbang Logika OR
Kondisi output gerbang OR akan bernilai high jika ada salah satu atau semua input bernilai high. Bila kedua input bernilai low maka output juga akan bernilai low.

Gerbang Logika XOR
Kondisi output gerbang XOR (Exclusive-OR) akan bernilai high jika hanya salah satu input saja yang bernilai high. Bila kedua input bernilai sama maka output akan bernilai low.

Gerbang Logika NOT
Gerbang logika NOT merupakan gerbang logika kebalikan (inverse). Kondisi output akan bernilai high saat input bernilai low. Sebaliknya, saat input bernilai high output akan bernilai low.

Gerbang Logika NAND
Gerbang logika NAND (Not-AND) merupakan gerbang logika kebalikan (inverse) dari AND. Kondisi output akan bernilai low hanya saat semua input bernilai high. Selain itu output akan bernilai high.

Gerbang Logika NOR
Gerbang logika NOR (Not-OR) merupakan gerbang logika kebalikan (inverse) dari OR. Kondisi output akan bernilai high hanya saat semua input bernilai low. Selain itu output akan bernilai low.

Gerbang Logika XNOR
Gerbang logika XNOR (Exclusive-Not-OR) merupakan gerbang logika kebalikan (inverse) dari XOR. Kondisi output akan bernilai high hanya saat semua input bernilai sama (high atau low), selain itu bila nilai input berbeda output akan bernilai low.

Penyederhanaan rangkaian digital bertujuan untuk mengubah suatu ekspresi logika yang rumit menjadi lebih ringkas, tanpa mengurangi dan mengubah hasil output. Ekspresi logika yang lebih sederhana bisa diimplementasikan dengan menggunakan rangkaian yang sederhana dan lebih kecil. Dengan demikian dapat menghemat biaya, tenaga, dan ruang untuk penggunaan gerbang logika yang tidak perlu.Salah satu cara untuk mengurangi ekspresi logika adalah dengan menggunakan Boolean Aljabar. Aturan Boolean Aljabar cukup sederhana dan bisa diaplikasikan dalam berbagai ekspresi logika. Hasil penyederhanan ekspresi logika bisa langsung diuji dengan tabel kebenaran untuk mendapat hasil yang valid.
          Berikut ini adalah aturan Boolean Aljabar:

Operasi AND (·)                                          
0·0 = 0      A·0  = 0                       
1·0 = 0      A·1  = A
0·1 = 0      A·A  = A
1·1 = 1      A·A' = 0

Operasi OR (+)
0+0 = 0      A+0  = A
1+0 = 1      A+1  = 1
0+1 = 1      A+A  = A
1+1 = 1      A+A' = 1

Operasi NOT (')
0' = 1       A''  = A
1' = 0

Hukum Asosiatif
(A·B)·C = A·(B·C) = A·B·C
(A+B)+C = A+(B+C) = A+B+C
 

Hukum Distribuf A·(B+C) = (A·B) + (A·C) A+(B·C) = (A+B) · (A+C) Hukum Komutatif A·B = B·A A+B = B+A Presedensi AB = A·B A·B+C = (A·B) + C A+B·C = A + (B·C) Teorema DeMorgan (A·B)' = A' + B'   (NAND) (A+B)' = A' · B'   (NOR)

sumber:

lang8088.blogspot.com

catatan pribadi